2025. 12. 16. 21:10ㆍ카테고리 없음
기말고사가 코앞인데 이차함수랑 삼각함수 어디서부터 손대야 할지 막막하신가요? 😰 공식은 많고 문제 유형은 다양해서 머리가 아프실 거예요. 내가 생각했을 때 수학은 핵심 개념을 정확히 잡고 자주 출제되는 유형을 반복 연습하면 확실히 점수가 오르더라고요.
이 글에서는 고등학교 1학년 수학 기말고사에서 반드시 나오는 이차함수와 삼각함수의 핵심 개념부터 예상 문제, 암기 팁, 자주 틀리는 유형까지 완벽하게 정리해드릴게요. 끝까지 읽으시면 시험장에서 자신감 있게 문제를 풀 수 있을 거예요! 📚
📐 "이차함수 그래프, 아직도 헷갈린다면?"
지금 바로 핵심 공식부터 정리해보세요!
📐 이차함수 핵심 개념 총정리
이차함수는 y = ax² + bx + c 형태로 표현되는 함수로, 그래프가 포물선 모양을 그려요. 여기서 a의 부호가 양수면 아래로 볼록하고, 음수면 위로 볼록한 형태가 된답니다. a의 절댓값이 클수록 그래프는 좁아지고, 작을수록 넓어지는 특징이 있어요.
이차함수의 꼭짓점 좌표를 구하는 공식은 정말 중요해요. 표준형 y = a(x - p)² + q에서 꼭짓점은 (p, q)가 되고, 일반형 y = ax² + bx + c에서는 꼭짓점의 x좌표가 -b/2a, y좌표는 이 값을 원래 식에 대입해서 구할 수 있어요. 이 공식은 거의 매 시험마다 출제되니까 반드시 외워두세요!
축의 방정식은 꼭짓점을 지나는 수직선으로 x = p 또는 x = -b/2a로 표현해요. 이차함수 그래프는 이 축을 기준으로 좌우 대칭이라는 점도 문제 풀 때 자주 활용되는 성질이에요. 예를 들어 그래프 위의 한 점을 알면 대칭인 다른 점도 쉽게 찾을 수 있답니다.
이차함수의 최댓값과 최솟값 문제는 꼭짓점과 직접 연결돼요. a가 양수면 꼭짓점에서 최솟값을 갖고 최댓값은 없어요. 반대로 a가 음수면 꼭짓점에서 최댓값을 갖고 최솟값은 없죠. 정의역이 제한된 경우에는 구간의 양 끝점과 꼭짓점의 함숫값을 비교해야 해요.
📊 이차함수 핵심 공식 정리표
| 구분 | 공식 | 활용 포인트 |
|---|---|---|
| 표준형 | y = a(x - p)² + q | 꼭짓점 (p, q) 바로 확인 |
| 일반형 | y = ax² + bx + c | y절편 c 바로 확인 |
| 꼭짓점 x좌표 | x = -b/2a | 축의 방정식과 동일 |
| 판별식 | D = b² - 4ac | x축과의 교점 개수 판단 |
이차함수와 x축의 위치 관계도 판별식을 이용해서 파악할 수 있어요. D가 양수면 x축과 서로 다른 두 점에서 만나고, D가 0이면 한 점에서 접하고, D가 음수면 만나지 않아요. 이 개념은 이차방정식의 근의 개수와도 연결되니까 통합적으로 이해하는 게 좋아요.
이차함수의 평행이동과 대칭이동도 자주 출제되는 영역이에요. y = f(x)를 x축 방향으로 m만큼, y축 방향으로 n만큼 평행이동하면 y = f(x - m) + n이 돼요. x축에 대해 대칭이동하면 y = -f(x), y축에 대해 대칭이동하면 y = f(-x), 원점에 대해 대칭이동하면 y = -f(-x)가 된답니다.
이차함수의 그래프를 그릴 때는 꼭짓점, 축의 방정식, y절편, x절편(있다면)을 순서대로 찾아서 표시하면 정확하게 그릴 수 있어요. 시험에서 그래프 그리기 문제가 나오면 이 순서를 지키는 게 실수를 줄이는 방법이에요.
이차함수 결정 문제도 빈출 유형인데, 주어진 조건에 따라 어떤 형태의 식을 세울지 결정해야 해요. 꼭짓점이 주어지면 표준형, 두 x절편이 주어지면 인수분해형 y = a(x - α)(x - β), 세 점이 주어지면 일반형을 사용하는 게 효율적이에요.
✏️ 이차함수 예상 문제와 풀이
예상문제 1번이에요. 이차함수 y = 2x² - 8x + 5의 꼭짓점 좌표와 축의 방정식을 구하세요. 풀이를 보면 먼저 꼭짓점의 x좌표는 -b/2a = -(-8)/(2×2) = 8/4 = 2가 돼요. y좌표는 x = 2를 대입해서 y = 2(4) - 8(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3이에요. 따라서 꼭짓점은 (2, -3)이고 축의 방정식은 x = 2예요.
예상문제 2번이에요. 이차함수 y = -x² + 4x - 3의 최댓값을 구하세요. 풀이를 보면 a = -1로 음수이므로 위로 볼록한 그래프예요. 꼭짓점의 x좌표 = -4/(2×(-1)) = 2이고, y = -(4) + 8 - 3 = 1이에요. 따라서 최댓값은 1이에요.
예상문제 3번이에요. 이차함수 y = x² - 6x + k의 그래프가 x축과 접할 때 k의 값을 구하세요. 풀이를 보면 접한다는 것은 판별식 D = 0이라는 뜻이에요. D = (-6)² - 4(1)(k) = 36 - 4k = 0이므로 k = 9예요.
📝 이차함수 출제 빈도 유형표
| 유형 | 출제 빈도 | 난이도 |
|---|---|---|
| 꼭짓점 좌표 구하기 | ★★★★★ | 하 |
| 최대최소 구하기 | ★★★★★ | 중 |
| 판별식 활용 | ★★★★☆ | 중 |
| 이차함수 결정 | ★★★★☆ | 중상 |
| 평행이동 대칭이동 | ★★★☆☆ | 중 |
예상문제 4번이에요. 이차함수 y = x² - 2x + 3을 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 -1만큼 평행이동한 그래프의 식을 구하세요. 풀이를 보면 평행이동 공식에 따라 y = (x - 2)² - 2(x - 2) + 3 - 1이에요. 전개하면 y = x² - 4x + 4 - 2x + 4 + 3 - 1 = x² - 6x + 10이에요.
예상문제 5번이에요. 꼭짓점이 (3, -2)이고 점 (1, 6)을 지나는 이차함수의 식을 구하세요. 풀이를 보면 꼭짓점이 주어졌으니 표준형 y = a(x - 3)² - 2를 사용해요. (1, 6)을 대입하면 6 = a(1 - 3)² - 2 = 4a - 2이므로 a = 2예요. 따라서 y = 2(x - 3)² - 2 = 2x² - 12x + 16이에요.
예상문제 6번이에요. 0 ≤ x ≤ 4에서 이차함수 y = x² - 4x + 1의 최댓값과 최솟값을 구하세요. 풀이를 보면 꼭짓점의 x좌표가 2이고 이 값은 정의역 안에 있어요. 꼭짓점에서 y = -3(최솟값), x = 0에서 y = 1, x = 4에서 y = 1이에요. 따라서 최솟값은 -3, 최댓값은 1이에요.
📊 삼각함수 핵심 개념 총정리
삼각함수는 직각삼각형에서 시작해서 일반각으로 확장되는 개념이에요. 기본적으로 sin θ = 대변/빗변, cos θ = 밑변/빗변, tan θ = 대변/밑변으로 정의돼요. 이 세 가지 비율을 정확히 기억하는 게 삼각함수 공부의 출발점이랍니다.
일반각에서는 좌표평면의 단위원을 이용해요. 반지름이 1인 원에서 각 θ에 해당하는 점의 좌표가 (cos θ, sin θ)가 돼요. 이 정의를 이용하면 90도보다 큰 각이나 음수 각도의 삼각함수 값도 구할 수 있어요. tan θ = sin θ / cos θ 관계도 함께 기억하세요.
특수각의 삼각함수 값은 반드시 암기해야 해요. 0도, 30도, 45도, 60도, 90도에 해당하는 sin, cos, tan 값을 정확히 알고 있어야 문제를 빠르게 풀 수 있어요. 특히 손가락 암기법이나 표를 이용해서 완벽하게 외워두세요.
🔢 특수각 삼각함수 값 정리표
| 각도 | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
| 90° | 1 | 0 | 정의 안됨 |
삼각함수의 기본 항등식도 핵심이에요. sin²θ + cos²θ = 1은 가장 기본적인 공식이고, 이것을 변형하면 1 + tan²θ = sec²θ, 1 + cot²θ = csc²θ도 유도할 수 있어요. 이 공식들은 식을 간단히 하거나 증명 문제에서 자주 활용돼요.
삼각함수의 부호는 사분면에 따라 달라져요. 1사분면에서는 sin, cos, tan 모두 양수, 2사분면에서는 sin만 양수, 3사분면에서는 tan만 양수, 4사분면에서는 cos만 양수예요. 이걸 외우는 암기법으로 All Students Take Calculus라는 문장을 사용해요.
삼각함수의 그래프도 시험에 자주 나와요. y = sin x는 원점을 지나고, y = cos x는 (0, 1)에서 시작해요. 주기는 둘 다 2π이고, 진폭은 1이에요. y = a sin(bx + c) + d 형태에서 a는 진폭, 2π/b는 주기, c/b는 위상이동, d는 상하이동을 나타내요.
호도법과 육십분법 변환도 기본이에요. 180° = π 라디안이라는 관계를 이용해서 변환해요. 예를 들어 60°는 π/3 라디안, 90°는 π/2 라디안이에요. 호의 길이 공식 l = rθ와 부채꼴 넓이 공식 S = (1/2)r²θ도 자주 출제되니까 꼭 알아두세요.
✏️ 삼각함수 예상 문제와 풀이
예상문제 1번이에요. sin θ = 3/5이고 θ가 제2사분면의 각일 때 cos θ와 tan θ의 값을 구하세요. 풀이를 보면 sin²θ + cos²θ = 1에서 cos²θ = 1 - 9/25 = 16/25예요. 제2사분면에서 cos θ는 음수이므로 cos θ = -4/5예요. tan θ = sin θ / cos θ = (3/5) / (-4/5) = -3/4예요.
예상문제 2번이에요. 반지름이 6cm이고 중심각이 π/3인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구하세요. 풀이를 보면 호의 길이 l = rθ = 6 × π/3 = 2π cm예요. 넓이 S = (1/2)r²θ = (1/2) × 36 × π/3 = 6π cm²예요.
예상문제 3번이에요. sin 150° + cos 240° + tan 315°의 값을 구하세요. 풀이를 보면 sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2예요. cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60° = -1/2예요. tan 315° = tan(360° - 45°) = -tan 45° = -1이에요. 따라서 1/2 + (-1/2) + (-1) = -1이에요.
📈 삼각함수 공식 변환표
| 변환 유형 | sin | cos |
|---|---|---|
| 90° - θ | cos θ | sin θ |
| 90° + θ | cos θ | -sin θ |
| 180° - θ | sin θ | -cos θ |
| 180° + θ | -sin θ | -cos θ |
| 360° - θ | -sin θ | cos θ |
예상문제 4번이에요. 함수 y = 2sin(2x - π/3) + 1의 주기, 진폭, 최댓값, 최솟값을 구하세요. 풀이를 보면 진폭은 2, 주기는 2π/2 = π예요. 최댓값은 2 × 1 + 1 = 3, 최솟값은 2 × (-1) + 1 = -1이에요.
예상문제 5번이에요. (1 + tan²θ) × cos²θ의 값을 간단히 하세요. 풀이를 보면 1 + tan²θ = sec²θ = 1/cos²θ예요. 따라서 (1/cos²θ) × cos²θ = 1이에요. 이런 항등식 정리 문제는 자주 나오니까 연습해두세요.
🧠 암기 공식과 꿀팁 모음
이차함수 꼭짓점 공식은 일이분에 이에이라고 외우면 쉬워요. 일반형에서 이분에 비는 -b/2a를 의미해요. 이 공식 하나만 확실히 외우면 축의 방정식, 꼭짓점 x좌표, 대칭축까지 한 번에 해결돼요.
특수각 삼각함수 값은 손가락 암기법이 효과적이에요. 왼손을 펴고 엄지부터 새끼까지 0도, 30도, 45도, 60도, 90도라고 생각해요. sin 값은 해당 손가락 번호에 루트를 씌우고 2로 나누면 돼요. 예를 들어 60도는 약지이고 루트3 나누기 2가 sin 60°예요.
사분면별 삼각함수 부호는 ASTC로 외워요. All Students Take Calculus의 약자인데, 1사분면 All(모두 양수), 2사분면 Sin(sin만 양수), 3사분면 Tan(tan만 양수), 4사분면 Cos(cos만 양수)를 의미해요.
💡 핵심 암기 공식 모음표
| 공식 | 암기법 |
|---|---|
| x = -b/2a | 일이분에 이에이 |
| sin²θ + cos²θ = 1 | 싸인제곱 코사인제곱 일 |
| tan θ = sin θ / cos θ | 탄은 싸인 나누기 코싸인 |
| 호의 길이 l = rθ | 엘은 알세타 |
| 부채꼴 넓이 S = (1/2)r²θ | 반알제곱세타 |
판별식 D = b² - 4ac는 비제곱 빼기 사에이씨로 리듬감 있게 외워요. D가 0보다 크면 두 점, 0이면 한 점(접점), 0보다 작으면 없음이라고 연결해서 기억하면 돼요.
이차함수 그래프 모양 판단은 에이의 부호로 결정해요. a가 양수면 스마일(아래로 볼록), a가 음수면 울상(위로 볼록)이라고 외우면 헷갈리지 않아요. 스마일은 행복해서 최솟값, 울상은 슬퍼서 최댓값이라고 연결하면 최대최소도 바로 떠올라요.
평행이동 공식에서 부호가 헷갈리는 경우가 많아요. x축 방향 이동은 반대 부호, y축 방향 이동은 같은 부호라고 외워요. 오른쪽 3이동은 x에서 3을 빼고, 위로 2이동은 y에 2를 더해요. 이걸 반플마 동더라고 줄여서 외우기도 해요.
⚠️ 자주 틀리는 유형과 해결법
이차함수에서 가장 많이 틀리는 실수는 꼭짓점 공식에서 부호를 잘못 쓰는 거예요. y = a(x - p)² + q에서 꼭짓점이 (p, q)인데, 많은 학생들이 x - p = 0에서 x = p라는 걸 잊고 부호를 반대로 써요. 표준형으로 변환할 때 괄호 안 부호를 항상 확인하세요.
정의역이 제한된 최대최소 문제에서 실수가 많이 나와요. 꼭짓점이 정의역 안에 있는지 밖에 있는지를 먼저 확인해야 해요. 꼭짓점이 밖에 있으면 구간 끝점에서만 최대최소를 비교하면 되고, 안에 있으면 세 값을 모두 비교해야 해요.
삼각함수 값 계산에서 사분면 부호를 잊는 경우가 많아요. sin θ = 3/5라고 해서 cos θ = 4/5가 아니에요. θ가 어느 사분면에 있는지에 따라 cos θ가 양수일 수도 음수일 수도 있어요. 항상 사분면을 먼저 확인하는 습관을 들이세요.
🚨 실수 방지 체크리스트
| 실수 유형 | 방지 방법 |
|---|---|
| 꼭짓점 부호 오류 | x - p = 0 풀어서 확인 |
| 사분면 부호 누락 | ASTC 먼저 적용 |
| 정의역 무시 | 꼭짓점 위치 표시 |
| 호도법 육십분법 혼동 | 단위 명시 후 계산 |
| 평행이동 부호 반대 | 반플마 동더 확인 |
호도법과 육십분법을 혼용하는 실수도 흔해요. π/6과 30°를 같이 쓰거나, 계산 중간에 단위를 바꾸면 답이 틀려져요. 문제에서 어떤 단위를 요구하는지 확인하고 처음부터 끝까지 일관되게 사용하세요.
삼각함수 그래프 문제에서 주기와 위상이동을 혼동하는 경우가 있어요. y = sin(2x - π)에서 주기는 π이고 위상이동은 π/2예요. 괄호 안을 2(x - π/2) 형태로 묶어서 생각해야 위상이동을 정확히 구할 수 있어요.
이차함수 결정 문제에서 조건에 맞지 않는 형태를 사용하면 계산이 복잡해져요. 꼭짓점이 주어지면 표준형, x절편 두 개가 주어지면 인수분해형, 세 점이 주어지면 일반형을 선택하는 게 가장 효율적이에요. 잘못된 형태를 선택하면 연립방정식이 복잡해지고 실수할 확률이 높아져요.
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❓ FAQ
Q1. 이차함수 꼭짓점 공식 두 가지 중 어떤 걸 써야 하나요?
A1. 표준형이 주어지면 바로 읽고, 일반형이면 -b/2a로 x좌표를 구해요. 상황에 따라 편한 걸 선택하면 돼요.
Q2. 판별식이 음수면 그래프가 x축 위에만 있다는 건가요?
A2. a가 양수일 때만 그래요. a가 음수이고 D가 음수면 그래프가 x축 아래에만 있어요.
Q3. 특수각 삼각함수 값을 다 외워야 하나요?
A3. 네, 반드시 외워야 해요. 0도, 30도, 45도, 60도, 90도의 sin, cos, tan은 기본이에요.
Q4. 라디안과 도 변환은 어떻게 해요?
A4. 180° = π를 기준으로 해요. 도에서 라디안은 π/180을 곱하고, 라디안에서 도는 180/π를 곱해요.
Q5. 이차함수 최대최소에서 정의역이 왜 중요한가요?
A5. 꼭짓점이 정의역 밖에 있으면 꼭짓점에서의 값이 최대 또는 최소가 아니기 때문이에요.
Q6. sin θ 값만 알면 cos θ를 바로 구할 수 있나요?
A6. 절댓값은 구할 수 있지만 부호는 사분면을 알아야 결정할 수 있어요.
Q7. tan 90°는 왜 정의되지 않나요?
A7. tan θ = sin θ / cos θ인데, cos 90° = 0이라서 0으로 나누는 게 되기 때문이에요.
Q8. 삼각함수 그래프에서 진폭은 어떻게 알아보나요?
A8. y = a sin bx에서 진폭은 절댓값 a예요. 그래프가 중심에서 위아래로 얼마나 흔들리는지를 나타내요.
Q9. 부채꼴 넓이 공식에서 θ는 도인가요 라디안인가요?
A9. 라디안이에요. S = (1/2)r²θ 공식은 반드시 θ가 라디안 단위일 때만 성립해요.
Q10. 이차함수를 x축에 대해 대칭이동하면 어떻게 되나요?
A10. y = f(x)가 y = -f(x)로 바뀌어요. 그래프가 위아래로 뒤집히는 거예요.
Q11. 이차함수 결정 문제에서 조건이 세 개보다 많으면요?
A11. 세 개만 사용해서 식을 세우고, 나머지 조건은 검증용으로 사용하면 돼요.
Q12. sin(90° - θ)는 왜 cos θ가 되나요?
A12. 직각삼각형에서 한 각이 θ면 다른 각은 90° - θ이고, 대변과 밑변이 서로 바뀌기 때문이에요.
Q13. 이차함수 y절편은 어떻게 빨리 구하나요?
A13. x = 0을 대입하면 돼요. y = ax² + bx + c에서 y절편은 바로 c예요.
Q14. 삼각함수 항등식 증명은 어떻게 시작해야 하나요?
A14. 보통 복잡한 쪽을 간단하게 만들어가요. sin, cos으로 통일하면 정리가 쉬워요.
Q15. 이차함수 그래프 그리기 순서가 있나요?
A15. 꼭짓점, 축의 방정식, y절편, x절편(있다면) 순서로 찾아서 점을 찍고 곡선으로 연결해요.
Q16. cos(180° + θ)의 부호는 어떻게 판단하나요?
A16. 180° + θ는 제3사분면이고, cos은 3사분면에서 음수라서 -cos θ가 돼요.
Q17. 인수분해형 이차함수는 언제 쓰나요?
A17. x절편 두 개가 주어졌을 때 사용해요. y = a(x - α)(x - β) 형태로 쉽게 세울 수 있어요.
Q18. 삼각함수 그래프 주기 공식이 뭔가요?
A18. y = sin bx에서 주기는 2π/b예요. b가 클수록 주기가 짧아져요.
Q19. 완전제곱식 변환이 잘 안 될 때 팁이 있나요?
A19. ax² + bx에서 a를 먼저 묶고, 괄호 안에서 (b/2a)²을 더하고 빼요. 연습이 최고예요.
Q20. sec, csc, cot은 시험에 나오나요?
A20. 고1 범위에서는 자주 안 나오지만, 개념은 알아두세요. sec = 1/cos, csc = 1/sin, cot = 1/tan이에요.
Q21. 이차함수와 직선의 교점 개수는 어떻게 구하나요?
A21. 두 식을 연립해서 정리하면 이차방정식이 나와요. 이 방정식의 판별식으로 교점 개수를 알 수 있어요.
Q22. 삼각함수 값이 음수일 때 어떻게 해석하나요?
A22. 단위원에서 좌표가 음수라는 뜻이에요. sin이 음수면 y좌표가 음수, cos이 음수면 x좌표가 음수예요.
Q23. 이차함수 문제에서 조건이 부등식일 때는요?
A23. 그래프를 그려서 해석하는 게 가장 빨라요. 부등식 영역을 그래프로 확인하세요.
Q24. 호의 길이 공식에서 θ 단위가 왜 중요한가요?
A24. l = rθ 공식은 θ가 라디안일 때만 성립해요. 도 단위면 먼저 변환해야 해요.
Q25. 이차함수 a값은 어떻게 빨리 알아보나요?
A25. 그래프 개형(볼록 방향), 그래프 너비, 주어진 점들을 이용해서 a를 특정할 수 있어요.
Q26. 삼각함수 그래프 위상이동은 어떻게 구하나요?
A26. y = sin(bx + c)를 y = sin b(x + c/b)로 바꾸면 위상이동이 -c/b예요.
Q27. 이차함수 그래프가 주어지고 식을 구하라는 문제는요?
A27. 그래프에서 꼭짓점, y절편, x절편 등 읽을 수 있는 정보를 찾아서 조건으로 활용해요.
Q28. 사인법칙과 코사인법칙은 고1에서 배우나요?
A28. 교육과정에 따라 다르지만, 보통 고1 말이나 고2 초에 배워요. 기본 삼각함수 먼저 완벽히 익히세요.
Q29. 이차함수 문제에서 미지수가 두 개면 어떻게 하나요?
A29. 조건을 두 개 찾아서 연립방정식을 세워요. 조건이 부족하면 문제에서 놓친 정보가 있는지 확인해요.
Q30. 기말고사 직전 마지막 복습 팁이 있나요?
A30. 공식 암기 확인, 자주 틀린 유형 다시 풀기, 계산 실수 없이 한 문제씩 정확히 푸는 연습이 효과적이에요.
면책조항
본 글은 정보 제공 목적으로 작성되었으며, 실제 시험 출제 범위와 다를 수 있습니다. 정확한 시험 범위는 학교 선생님께 확인하시기 바랍니다. 본 글의 내용을 참고하여 발생한 결과에 대해 작성자는 책임지지 않습니다.
이차함수와 삼각함수는 고등학교 수학의 기초가 되는 정말 중요한 단원이에요. 이 글에서 정리한 핵심 개념과 공식들을 반복해서 익히고, 예상 문제를 직접 풀어보면서 실력을 다져보세요. 자주 틀리는 유형을 미리 파악해두면 시험장에서 실수를 줄일 수 있어요. 기말고사 잘 보시길 응원합니다! 📚✨